• Barbosa

Reductio ad absurdum

Em um primeiro momento planejei escrever sobre a não contratação do lateral Rafinha pelo Flamengo. Então, achei que o tema se tornou irrelevante rapidamente frente a decisão do STF contra o ex-juiz Moro no caso do triplex atribuído ao presidente Lula. No entanto, em seguida, Bolsonaro fez um pronunciamento em rede nacional mudando radicalmente sua postura no combate à pandemia do corona vírus, que até esse momento já ceifou a vida de mais de 300.000 brasileiros. Por fim, frente a fatos tão impactantes não me senti a altura de comentar esses caso, então resolvi guiar os leitores na demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois utilizando álgebra simples.


Números irracionais são, por premissa, aqueles que não podem ser representados pela razão de dois números. São decimais, infinitos e não periódicos, ou seja, por mais casas decimais que utilizemos jamais iremos encontrar um valor exato que represente o número, apenas aproximações. Dízimas periódicas não são irracionais porque podem ser representados por uma fração: 1/3 = 0,33333.....


Imagine um quadrado onde cada aresta tem o comprimento de uma unidade, seja ela qual for. Após traçarmos uma reta diagonal teremos dividido esse quadrado em dois triângulos retângulos, onde o comprimento dessa diagonal é definido pelo teorema de Pitágoras: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou:


1² + 1² = x²

Sabemos que 1² = 1, logo, pela equação anterior, 1 + 1 = x² = 2, temos então que x = 2.


Vamos supor que vivemos há cerca de 2.500 anos e fazemos parte de uma corrente filosófica que acredita na perfeição dos números inteiros, onde qualquer número deriva deles. Como parte desse grupo, naturalmente, supomos que 2 é um número racional e pode ser representado pela razão de dois números inteiros quaisquer (y/ z). Como esses números podem ser qualquer um que desejemos podemos exigir que não tenham fatores comuns, ou seja, se dissermos que a fração y / z é 10 / 6, deveríamos minimizar o fator 2 e usar 5 / 3, por exemplo.


Então, temos que 2 = y / z, ou, elevando os dois lados da equação ao quadrado, 2=y²/z². Trocando o de lado e invertendo a ordem da equação:


y² = 2z²


Se é um numero inteiro (z) multiplicado por 2, logo é um número par. Sabemos ainda que qualquer número ímpar elevado ao quadrado é outro número ímpar (1²=1, 3²=9, 5²=25,..., 2021²=4.084.441,...), assim, y só pode ser par. Podemos então representar y = 2p, onde p é algum número inteiro. A partir da equação anterior temos y² = (2p)² = 4p² = 2z². Por consequência:


z² = 2p²


Logo, pelo mesmo argumento que usamos para y, z também é um numero par.


Ora, mas se ambos são números pares, a razão inicial y / z poderia ser dividida por 2 e reduzida. Então o argumento inicial não pode permitir, por exemplo, 10 / 6 mas ao mesmo tempo proibir 5 / 3. Assim, reductio ad absurdum, 2 não pode ser um numero racional, e de fato não é, 2 = 1.414213....


Essa corrente apaixonada pelos números inteiros e sua "perfeição" eram os discípulos de Pitágoras e acreditavam que toda a criação derivava desse números. Ao descobrirem a irracionalidade da diagonal do quadrado sua visão de mundo entrou em crise uma vez que ela não fazia mais sentido. Se tornando algo "irracional".


*Reductio ad absurdum é um tipo de argumento lógico no qual alguém assume uma ou mais hipóteses e, a partir destas, deriva uma consequência absurda ou ridícula, então conclui-se que a suposição original deve estar errada. O argumento se vale do princípio da não contradição.

30 visualizações4 comentários

Posts recentes

Ver tudo